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1973年，40岁的陈景润证明了弱版本的哥德巴赫猜想（即陈氏定理“1+2”），他的故事风靡大江南北，一篇报告文学更是将他塑造为那个时候的超级网红。一位18岁的中学生在北京看到相关报道，他虽然对演算过程似懂非懂，但内心坚定了数论方向，由此情牵终身。
▲张益唐（后排右一）与爸爸、妈妈、妹妹。（来源：张益唐妹妹回忆文章）
01
“他被闪电劈中了两次！”67岁的美籍华裔数学家张益唐因为接连有两项研究突破，近期被同行这样评价。上一次被“劈中”，是他58岁时。这个年纪早过了数学家出成果“不超过40岁”的黄金年龄。他的成就被誉为“敲开了世纪数学猜想的大门”，“是中国人有史以来在数学领域对世界的最大贡献之一”。
1900年在巴黎举行的第二届国际数学家大会上通过了23道最重要的数学问题。第8道包含三小题，为黎曼猜想、哥德巴赫猜想和孪生素数猜想，它们都是关于数论的题目。2000年美国一家数学研究所悬赏百万美金设立7题“千禧年大奖难题”，第4题正是黎曼猜想。张益唐“被劈中两次”，就是在孪生素数猜想、黎曼猜想上先后取得重要突破。2022年11月8日，张益唐通过线上报告形式，宣布“本质上已经解决了朗道-西格尔零点猜想问题”，这为人类彻底解决黎曼猜想奠定了坚实一步。
需要说明的是，陈景润、张益唐的相关成就都属于“取得重要突破”级别，并未彻底解决猜想问题。这从一个侧面说明，数学基础研究是多么的难，是多么残酷地折磨这群最高智商的人。好莱坞大片《美丽心灵》的原型、博弈论创建者约翰·纳什肯定深有体会，有一种说法，在博士论文研究完博弈论取得重要成果后，约翰·纳什信心满满地一头扎进黎曼猜想的相关研究，不久精神失常。
顾名思义，数论是研究1、2、3等数字的学科。1个人、2个人、3个人，4头羊、5头羊、6头羊，1、2、3、4、5……，这些自然产生的“自然数”是一切数学知识的基础。数学家没有轻易放过这些自然数，他们将除1之外的自然数分成两类：一类是2、3、5、7、11、13……等，取名为素数（又叫“质数”，大概有朴素、质朴之意），它们除了1和自身之外，不能被其他自然数整除；另一类是合数，如4、6、8、10、12……等。简单比方一下，任何素数，比如5只能转化成1与自身的乘积，5=1×5，而任何合数，可以被分解成若干个素数的乘积，比如15=3×5，16=2×2×2×2，100=2×2×5×5。很显然，素数比合数更纯粹，相当于素数是氢氦锂铍硼等基本元素，而合数是化合物，是几种素数的结合。照此方式，100就可以写成2₂5₂，其他数字，大家可以脑洞大开继续补充。
关于素数的问题，数学家们一直都在思考有什么规律，总数有没有限制（如果有，是多少），相邻素数之间有什么规律，一定数字范围内的素数又有多少？对于这些，人类大部分处于未知状态。但有一点，关于素数的总量，我们现在可以明确知道，素数是无穷多的。这个证明方法有多种，有一种反证法如下：
假设“素数总量有限”那么就有一个最大的素数，比如为L我们架构另一数Y,给它赋值为从2到L之间素数的乘积再加上1即令Y=2×3×5……×L+1显然Y比L大，Y只能是合数、或者是素数——如果Y是合数，但它除以任何一个素数都有余数1，不成立——如果Y是素数，这又与L是最大素数相矛盾，也不成立从而得出假设“素数总量有限”不成立最后的结论：素数总量无穷多，不存在“最大的那个素数”
这段论证，你千万不要说看不懂！这可是2300多年前欧几里得采用的方法。好了，既然你说“我懂了”，我们继续往下说。围绕素数的问题， 哥德巴赫猜想、孪生素数猜想和黎曼猜想分别从三个细分领域，拆分了这个问题。陈景润、张益唐的成就，都很精彩。
① “哥德巴赫猜想” 于1742年由瑞士数学家欧拉与友人的通信中提出，猜的是“任何一个大于2的合数，都可以写成两个素数之和”，比如12=5+7，这个问题看起来简单，也是三个问题中最好看懂题目的，但要证明起来，很难。在前人研究基础上，陈景润1973年宣布证明了“1+2”：任何一个充分大的偶数都可以表示成为两个数之和，其中一个是素数，另一个为不超过两个素数的乘积——这距离摘取数学皇冠上的明珠“1+1”看起来只有一步之遥。陈景润后来获全国科学大会奖、国家自然科学一等奖 ，1996年3月19日，陈景润因患帕金森氏综合症在北京病逝。自1973年起，一晃50年过去了，该领域迄今再无更新突破。不是数学家们不想，或者说不努力，而是因为这类题目太难！
② “孪生素数猜想”于1849年提出，猜的是“孪生素数有无穷多对”。什么是孪生素数呢？将众多素数再继续细分，将只相隔2的，比如“3与5”“5与7”“11与13”……，定义为孪生素数。张益唐2013年首次成功证明了弱版本的孪生素数猜想。其证明存在无穷多对素数相差都小于7000万。“相隔7000万”与“相隔2”看上去差距很大，其实已经是很大的成就了，将这个问题的难度从“大海里捞针”降低为“池塘里捞针”。受张益唐启发，近几年在另一位华裔知名数学家陶哲轩等人推动下将“相隔7000万”推进到“相隔246”，这与“相隔2”又前进了一步。目前已知的最大孪生素数是2003663613X2^195000-1和2003663613X2^195000+1，该数用十进制表述是接近40万位。
③ 黎曼猜想由德国数学家黎曼于1859年提出。素数在自然数中的分布问题在纯粹数学和应用数学上都很重要。素数在自然数中的分布并没有简单的规律。前面说过素数的总量是无限的，但是一定范围内的素数数量是有限的，能否有一个公式来计算这个量？黎曼发现素数出现的频率与黎曼ζ函数紧密相关。黎曼猜想与强条件的、可计算一定范围内素数数量的素数定理等价。这个猜想之所以重要，主要是因为很多深入和重要的数学和物理结果都能在它成立的大前提下得到证明。张益唐近期宣布解决的朗道-西格尔零点猜想问题，与黎曼猜想紧密相关。
好了，看了这么多，你可能会说：上面的，我基本都看懂了，知道数论很难，陈景润、张益唐和欧拉、黎曼等都很牛*，那接下来请告诉我，数论、数学有什么用？可以，接下来，安排这个。
▲张益唐“被闪电劈中两次”#数学扫地僧（来源：北大校友会）
02
数学是自然科学的皇冠，而数论是皇冠上最耀眼的那颗明珠。简单说来，对个人来说，数学学不好，你在中国考不上985，在美国进不去常青藤（有体育特长、家里有石油矿藏的除外）；对国家来说，数学是硬实力中的“压舱石”。
我们都知道，英国科学家牛顿（1643－1727）是近代物理学开山鼻祖，他在《自然哲学的数学原理》中阐述了万有引力和三大运动定律，奠定世界物理和天文学的基础，建立了现代工程学。在他研究成果基础上，人类启动工业革命，知道了太阳、地球、月亮等天体是怎么运转的。现在我要告诉你，牛顿和爱因斯坦一样，首先是一个数学家，而且牛顿在数学领域的影响力一点不亚于物理领域。他的所有物理研究，都是通过数学方法演算得出的。牛顿还嫌弃当时的数学工具不够用，开创了微积分（注：通常认为，莱布尼茨也独立发明了微积分）。牛顿在二项式定理、极坐标上也成果丰硕。2022年9月，英国女王伊丽莎白在伦敦西敏寺大教堂风光大葬全球瞩目，这其实是挟“日不落帝国”的最后余晖，而牛顿是铸就“日不落帝国”的最大功臣之一。牛顿也安葬于西敏寺大教堂，是英国第一位享受国葬待遇的科学家，在他之后，达尔文、霍金也享受了同等待遇。
不少人至今不明白，德国地方不算大、人口不算多，有何能耐在二十世纪发动两次世界大战？原因很多，很复杂，但是其中一个因素是，那段时间德国数学大师多，理论、科研底蕴深厚。五位“大神级数学家”，两位属于德国，还有一位在德国边上的瑞士。军事战争表面上打的是炮弹，其实背后一个是数学、力学（比如炮弹飞行轨迹等），另一个是密码、信息战（现在延伸为网络战争）。
说到世界大战，再举一个事例。二战初期，英国特别被动，被揍得很惨，但是后来慢慢缓过劲来，最终与盟军一起迎来胜利。胜败的一个拐点就是因为英国也有一位数学大师，阿兰·图灵（Alan Turing）。图灵通过他雄厚的数学知识破译了德国人引以为傲、一度被认为坚不可摧的恩尼格玛密码机。图灵团队的成功，让二战提前2-3年结束，全球少死1000万人。数学家图灵，与计算机科学之父、人工智能之父图灵，是同一个人。但是二战后，取得赫赫战功的图灵，却因特殊的性取向被“化学阉割”，遭到当时的英国政府迫害，职业生涯尽毁，导致1954年自杀，终年42岁。生物学上的生命，图灵已经结束，估计图灵也没有后裔，但是精神世界的生命，图灵永存，计算机领域最高奖项“图灵奖”正是以其命名。自1966年设立以来，有超过70位计算机科学家获得“图灵奖”，其中仅有一位华人——时任普林斯顿大学工程与应用科学教授姚期智。姚期智已全职回到国内，在清华任教，并和杨政宁一样加入了中国国籍。姚期智是现代密码学基础的奠基人，有着开创性的贡献，曾提出著名的 “姚氏百万富翁问题”。
中华民族目前迎来了伟大复兴的关键时刻，2022年10月大会报告指出我们在“载人航天、探月探火、深海深地探测、超级计算机、卫星导航、量子信息、核电技术、新能源技术、大飞机制造、生物医药等取得重大成果”。其中“载人航天”领域的鼻祖就是钱学森，今年12月11日，将迎来钱学森诞辰111周年纪念日。我们也要知晓，钱学森可能算不上数学家，但是他的数学功底异常雄厚。1955年回国后，钱学森开班授徒，亲自给大学生上课，他给学生的期末考试题目就是“从地球上发射一枚火箭，绕过太阳再返回地球，请列方程求解”，这是与数学紧密相关的开卷题目，但是所有的学生都被考哭了，无一人及格。这次考试反映出大部分同学基础不够扎实，对于这一问题，钱学森十分重视，他决定要求所有学生延期半年毕业，专门补习数学和外语。半年下来，学生们光数学题就做了三千多道，这一届学生读了五年半，这些年打下的基础让他们受益终生。 在物理、化学、天文、气象、金融、统计和国防、军事、密码、经济、交通、社会治理（比如疫情防控的精准治理、人口模型）、信息通信（比如华为公司在5G领域的一个重要难题就是依靠俄罗斯数学家解决的）等诸多方面，以数论为原点的数学学科起到了基础性的支撑作用。张益唐等众多数学家、数学工作者的一系列重要研究成果，必将让全人类的文明登上一个新的台阶。 江湖侠客、梁山好汉可以排名，其实古今中外的数学家也可以排座次的。如果张益唐关于朗道-西格尔零点猜想问题论文能经过同行严格检验，他将成为全球最近五十年来最厉害的数学家之一，并将和陈景润一样，跻身人类文明史上“一流数学家”行列，而且他的具体排名会比陈景润靠前一些。但是张益唐还达不到“超一流数学家”，他没有系统性地开创一个新领域，他证明的只是别人的猜想，欧几里得、莱布尼茨、庞加莱等一二十人就属于这个级别。“超一流数学家”之上，就是“大神级数学家”，是打通任督二脉、开了天眼的极少数人，一般认为到达这一级别的有五人，分别是：阿基米德（古希腊）、牛顿（英国）、高斯（德国）、欧拉（瑞士）、黎曼（德国）。这三个行列的古今中外数学家总人数在100人左右，华人血统的除了张益唐、陈景润之外，华罗庚、陈省身、苏步青、王元、丘成桐、陈建功、吴文俊、陶哲轩和中国古代数学家刘徽（《九章算术注》作者）、祖冲之（研究圆周率π“祖率”）等，可能都有机会列入。
▲数学“扫地僧”的煎熬：人生有多少个15年呢？#张益唐（来源：央视采访）
03
张益唐是幸运的，“被闪电劈中了两次”；张益唐也是不幸的，“被深渊凝视两次”。
张益唐1955年出生在浙江平湖，父母都是高级知识分子，因那个时代的特殊原因，张益唐被托给在上海、不识字的外婆抚养。张益唐从小就有很强的好奇心，尤其爱看《十万个为什么》，其中的第8册“数学卷”是他的数学启蒙读物。约在9岁时，他独自发现了勾股定理。他父亲曾在清华大学任教20余年，后来在邮电部从事科研工作。1968年，父母将13岁的他接回北京。1973年，他看到了陈景润对有关哥德巴赫猜想的证明，虽然不太清楚演算细节，但当时的他大致弄懂了证明思路，满足了好奇心。张益唐于1978-1982年间在北京大学数学科学学院读本科，又于1982-1985年间在北大继续修读硕士，师从潘承彪。在北大数学系，张益唐被公认是78届最强存在，他对数字极其敏感，只要看过一次几乎都能记住。同学王小东回忆说，因为数学方面的天赋，张益唐是北大的风云人物，“崇拜他的姑娘从学校南门排到了北门”。
1985年，张益唐到美国普渡大学攻读博士。因为与导师关系不佳，经过近7年时间才艰难拿到博士学位，毕业时没有取得导师推荐信，无法在美国谋职，所以张益唐博士毕业即失业了。这一年张益唐37岁。之后的故事，各家媒体都报道过，大家也比较熟悉。没有工作的张益唐只能到处流浪，在中餐馆做过临时工，在汽车旅馆打过工，曾经无处安身只能睡在汽车里，在北大留美同学那里蹭饭。后来他在subway快餐店做服务员，负责洗盘子和送外卖，一干就是七年。年近半百，才经北大校友推荐于1999年来到美国东北部的新罕布什尔大学担任临时讲师。这段昏暗的经历，是张益唐第一次“被深渊凝视”。直到58岁时，2013年5月发表“孪生素数猜想”论文，他才一举成为世界闻名的数学家。
张益唐的父亲是他人生中的第一位老师，父亲教会他很多，他童年时也常被带他到清华园游玩，开阔了视野。父亲注意到他的记性特别好，还偷偷测试了他的记忆力，结果被张益唐一字不差的故事复述能力震惊到了，还告诉张益唐的外婆：“这个小孩将来不得了，是不是能够培养下？！”遗憾的是，1985年张益唐赴美，一直到1993年父亲病逝，父子再没有相见。文章《我的哥哥 我的家：张益唐的妹妹深情回忆》深情地记录了那个瞬间：“1993年的3月，春天即将到来的日子，只有63岁的爸爸带着他对妻子的惦念，对儿子的牵挂，和对小女儿的不放心，带着满满的不舍，终于离开了我们。”1993年的张益唐在美国正处于人生最低潮期，他通过信件知道父亲病重，但因各种原因，他没能回来与父亲最后一见。这是张益唐第二次“被深渊凝视”。
张益唐的妹妹还记载了这个细节：2013年的8月20日（编者注：在“孪生素数猜想”论文发表3个多月后），哥哥终于回国，那天正是妈妈的83岁生日，哥哥的第一次回国特意选在这天，也是想把儿子迟到的回归作为礼物献给生日和生病的妈妈吧！
约翰·纳什的故事，被拍成了电影《美丽心灵》。另外一位华裔数学家说，张益唐的故事，比约翰·纳什更精彩。张益唐对外界拒绝了将其经历拍成电影的建议，他常引用杜甫的诗句来表达自己的内心——“庾信平生最萧瑟，暮年诗赋动江关”。
张益唐的数学人生无疑是厚重的，他探讨了数学，也探讨了人生。爱因斯坦67岁时在《自述》中也曾坦陈心声，“当我还是一个相当早熟的少年时，我就已深切地意识到，大多数人终生无休止地追逐的那些希望和努力都是毫无价值的。”
▲张益唐未能见上父亲最后一面（来源：央视）#数学扫地僧
■粤有数 · 延伸阅读（注：供有数学背景的朋友专阅，不建议文科生阅读）
张益唐11月8日“朗道——西格尔零点猜想”学术报告浅析
附录作者：李伟教授（“粤有数”数字化治理专家委员会特邀顾问）
讲座的背景及主要内容
2022年11月8日上午，著名数学家张益唐在线上做了《关于朗道——西格尔零点猜想》的精彩学术报告。张教授用朴实的语言给公众介绍了数论方面研究的许多有趣内容。首先从广义黎曼猜想（共有黎曼猜想、广义黎曼猜想、扩展黎曼猜想、大黎曼猜想四种）的狄利克雷L函数出发引申出朗道-西格尔零点猜想，做了一个背景介绍。
这个部分的内容比较复杂，在此不做更多的展开。朗道-西格尔零点猜想，简单的说，对于广义黎曼猜想的狄利克雷 L(s,χ) 函数,有两个自变量，其中， χ(n) 是一个所谓的狄利克雷特征，也是一个函数，都有特定的值，L(s,χ) 函数可以看着在χ固定住后只是关于s的函数。
s是一个复数，也可以取实数。当s = 1时， L(s,χ) ≠ 0。当L(s,χ) = 0，所有非平凡零点（L函数的非平凡根）基本上存在于区间 （a,s）中， 0<a< span=””>，s<1。但是可能最多存在一个零点会落在 [s,1)之间，这就是异常零点。异常零点可能存在的是一个接近1 的非常窄的区间，比如在 [0.08,1)之间（0.08是一个假设的数）。朗道-西格尔猜想认为不存在异常零点。
对LS猜想更详细的说明可以【参考 附件 1 朗道-西格尔猜想】
张益唐教授证明了在[0.08,1) 内更小的接近1的区域，如[0.000001,1)，不存在异常零点。他的结论虽然比LS猜想的区域更小，但是通过改进，最后是可以达到LS猜想中s的区域的。
好了，现在我们回到张教授的演讲主体，分为三个部分。一、基于筛法证明某些数论问题的一般步骤；二、三个猜想传统证明方法及其局限；三、对Landau-Siegel猜想证明的创新设计。以上内容可以看图 1 数论问题证明路线与创新 的详细说明。
▲数据问题证明线路与创新
张教授的整个思路非常清晰，我们就按照他的思路做相应的介绍，并且把结论和影响做为结束。
01 基于筛法证明某些数论问题的一般化方法
1.1 数论问题转化为对序列 {xn} 的研究
我们知道，许多著名的数论问题，如哥德巴赫猜想、孪生素数猜想以及朗道-西格尔猜等，其描述要么简单，要么非常复杂，但是都是在专业领域的断言。这些描述看起来千差万别，要证明的话，能否有一些一般性的路线图？没错，数学家们还找到了这样的一种一般性处理方法，就是把数论问题变成数值问题来处理！这样可以充分利用现有的数学知识以及和被证明有效的研究方法，可以省去不少路线探索的功夫。于是，对一个数论问题的证明可以归结为证明：
在有限序列 {xn} 中，如果存在 xn <0，则猜想得到证明。
序列 {xn} 是什么呢？可以认为是一个我们熟悉的数列。既可以是有规律的序列。如
{xn} = {3,6,9,12,15} 等，也可以是无序的，如
{xn} = {0,1,1,0,0,1,1,1,0,⋯,0} 等。
对于后一个取值在0和1之间震荡的数列，能否在某一位数中找到一个小于0的值？如果能找到，猜想就被证实！
序列 {xn} 是怎样定义的【参考 附件 2 一种构建序列 {xn} 的方法】？数学家们是将数论问题做一定的约化后，通过巧妙的设计，映射到序列{xn}中。
1.2 需要构建另外一个数列{Yn}来让简化证明
虽然现在将数论问题数值化了，但是在序列{xn}中，因为要一个一个找序列中的元素，工作量庞大而且很难发现某一个xn <0，于是需要在这个基础上再做一次变换，以便更容易找到xn <0 。方法就是构建另外一个序列 {Yn},让 xn与Yn相乘，然后求和，这样把多次的结果判断变为一次结果判断，如果结果小于0，就可以间接得到xn <0。也就是要寻找是否存在
Σxn Yn<0 ⋯ ①
Yn要求是非负的，于是，其中一种常用的设计如下：
Zn可以在全体实数中取值，也构成一个序列。将②式代入①中，可得：
如果上式得到证明，则猜想也就得到证明。
02 三个猜想传统方法证明得到结果及局限
2.1 目前得到的证明结果
目前证明过程中，得到的是
虽然ε是一个可以任意小的正数，“ε·某个式子”也可以为任意小，但是毕竟不为0 ，故④式距离③式还是有一点点距离，尽管是只差一丝头发就能证明成功了，但是严谨的数学却不能将就，必须要达到完全的相符才行。不过张教授使用这个方法在孪生素数猜想中获得了突破性贡献。
2.2 张益唐在研究中寻找序列 {Yn}未果
张教授在利用传统方法证明LS猜想过程中，得到的依然是④式，也就是没有得到完全证明，但是他在这个过程中，不断地寻找序列 {Yn} ，使用了许多方法，如差分法、积分方程最大特征根等，最后都没有能找到一个合适的序列 {Yn} 能使③式成立。形象地形容为大海捞针，海底物品就是构建序列{Yn} 的所有的可能方法，针就是能满足③式的{Yn} 。虽然遗憾的没有找到针（特定的{Yn}）， 但是发现了许多构建{Yn} 的方法是行不通的。用张教授的话就是“针没捞到，但是摸清了海底的地貌。”
03 朗道-西格尔猜想证明过程中两个新的方法
既然按照上述方法一直不能得到证明，是否应该改变证明思路。于是，张教授做了以下两个创建：
1.重新寻找 {Yn}
2.将直接证明变为反证法来证明
3.1 寻找新的{Zn}来与{xn}相乘
找到了两个{Yn}，分别是 {Yn} = {an + bn}和{Yn} = {cn + dn}
依照原来使用平方的路线 来构建求和公式，于是可以得到
⑤和⑥式得到趋于0的结论时，使用的方法是完全不一样的。上面两个式子中，符号～表示趋近于，也就是说⑤和⑥式得到的结果都接近但不等于0，当然更不会小于0。这和④式的结果是一样的，要破局，还需要一个新的方法来接棒创新的两个新序列（事实上是四个新序列。an ，bn ，cn ，dn）。
3.2利用反证法
既然直接证明一直没有成功，是否可以使用反证法来试试呢？我们来看看张教授的证明过程（都是初等描述，一定看得懂的！）
假设：x≥0 （我们需要得到对立的 x<0）
利用等式：ancn-bndn = (an + bn)cn – (cn + dn)bn
可以推导出下面一个不等式：（等式形式有些复杂，但是内容并不复杂哈）
|Σxn(ancn-bndn)| “左边”
≤Σxn |(ancn-bndn)|
≤Σxn { |(an + bn)|∙| cn | + | cn + dn |∙| bn | } ⋯ ⑦ “右边”
上式中，对于左边和右边分别用某些数学方法计算，得到的结论是 左边>右边，与⑦式的结论想反，根据反证法的逻辑，可以得到原来的假设：x≥0是错误的，也就是说 x<0！而这个数值结果对应的数论问题就是没有异常零点存在。也就是Landau-Siegel猜想得到证明（当然，在此是LS猜想的一个弱结果）。Perfect！
这个时候，我们也终于明白张教授在讲座开始时列出的一个初等算式的意义了。见下式
ac – bd = (a+b)c – (c+d)b
对整个证明过程的思路可见 图 2 张益唐证明LS猜想思路 。
▲张益唐证明LS猜想思路
04 证明结论与创新
证明了狄利克雷L函数在一个非常小的区域没有异常零点，这个区域在朗道-西格尔零点猜想断言的区域之内，要小得多。但是方法和方向是正确的，通过后续工作跟进，对这个结果做一定优化（按照当前路径是可以优化的），就可能将区域扩展到LS猜想断言的区域。也就是说，目前张益唐教授没有完全证明朗道-西格尔猜想，但是非常接近证明了！
如果广义黎曼猜想是正确的，那么就可以得到朗道-西格尔零点猜想，是广义黎曼假设的一个重要的特殊情况，但跟黎曼假设没有直接关系。目前的结论不能证明黎曼猜想是正确的，但是加强了其为正确的信念。这一成果在解析数论中的意义重大。
创新就是对序列{Yn}构造了新的序列{an + bn}和{cn + dn}，并且不再有那种具有平方关系的序列。使用反证法来进行证明，这对于筛法在数论中的应用或许开启了一个新的方向。
当然，目前论文是发在arXiv上的预印本，还需要同行的评议论证，还需要有最后的是否正确的裁定。
无论最后结果如何，都感谢张益唐教授的研究，他在不仅是证明了LS猜想的一个弱结果，更提供了新的思路和工具，对于筛法证明数论问题可能引入了一个重要的新的方法，对于解决相似的问题提供了新的工具和路径。
附件
附件 1 朗道-西格尔猜想
广义黎曼猜想的狄利克雷 L(s,χ) 函数如下：
其中，χ(n) 是所谓的狄利克雷特征，是一个输入为整数，输出为复数的算数函数。对于每一个χ(n)， n = 1,2,3,···,∞ ，在取定了对应法则χ后，都有特定的值。因此，L(s,χ) 函数可以看着在χ固定住后关于s的函数。令L(s,χ) = 0，得到的根s叫做零点。这些零点分为两个部分，分别是平凡零点和非平凡零点，我们关心的是非平凡零点，s是一个复数， s = σ + it （i 为虚数单位，σ, t为实数）。数学家们证明了L函数的非平凡零点基本上都能落在类似于（1）式的沙漏型的区域（在复数平面上）：
C > 0,是一个与D无关的固定常数，D是狄利克雷特征χ(n)的模，σ是s的实部，t 是s的虚部。
可惜的是，数学家 Edmund Landau 发现当χ满足特殊性质时，对应的L 函数可能会出现落在（1）之外的异常零点。Landau 证明了对于每个这样的L 函数，若区域 中存在异常零点，则这样的零点只可能出现一个。
断言L函数没有异常零点的猜测就是朗道-西格尔猜想！
当然s也可以取实数，当s = 1时， L(s,χ) ≠ 0 。当L(s,χ) = 0时，因为此时s没有虚部，故t = 0，非平凡零点基本存在的区域就就（1）变为（2）
可能的唯一一个异常零点应该在区域
但是可能在s在比1小一点点的某个地方，至多存在一个零点，即可能有一个比1小一点点的s可以让
异常零点存在区域的最小值可以由（3）式确定。
这个区域和1很接近。Landau-Siegel猜想断言没有这个异常零点。
张益唐教授证明的s的最小值可以由（4）式确定
显然，（4）式中s的的值远小于（3）式中的（因为D是很大的正数，logD远大于1），但是在数学上不重要，经过改进，（4）式中logD的指数2024是可以达到（3）式中1的。
附件 2 一种构建序列 {xn} 的方法
N 是一个很大的偶数，有函数
构建有限序列 xn = 1 – ρ(n) – ρ(N – n) ⋯⑧, 1<n<n< p=””>
ρ(n) 和 ρ(N – n) 都为0时，表示 n 和 N – n 都是素数，也就是一个充分大的偶数可以表示为两个素数之和。此时， xn = -1
当⑧式对所有N都有xn小于0时，哥德巴赫猜想就得到证明。当然，这种一个一个遍历的方法非常麻烦，甚至对于不能使用数学归纳法的无穷级数是不可行的。如果能转换为 Σ xn<0 就方便多了，当然，最后是通过 Σ xnYn<0 这个容易证明的不等式来实现的。
【粤有数编辑：燕慧】
【粤有数审核：嘉盈】
